Měření tíhového zrychlení kyvadlem

== Merení tíhového zrychlení fyzickým kyvadlem ==

ÚKOL:

1. Spocítejte moment setrvacnosti fyzického kyvadla kolem težiště 2. Urcete moment setrvacnosti kolem skutecné osy 3. Urcete velikost tíhového zrychlení z doby kyvu fyzického kyvadla 4. U všech hodnot odhadnete chybu merení Pomucky:

a) zaves s fyzickým kyvadlem (tyč obdélníkového prurezu), kovové merítko, kontaktní merítko, stopky, váhy

Základní pojmy a vztahy:

Moment setrvacnosti je velicina, kterou potrebujeme znát, studujeme-li otácení tuhého telesa kolem osy. Je-li uvažovaná osa otácení pevná v prostoru, mužeme popsat pohyb telesa jedinou souradnicí, napr. úhlem ', který svírá prímka pevná v prostoru s prímkou pevnou v telese procházející spolecným bodem na ose otácení. Pohybovou rovnici pro toto tuhé teleso získáme z druhé vety impulzové promítnuté do smeru osy pevné v prostoru, a která zní:

I'¨= Mo , (3.1)

kde I je moment setrvacnosti tuhého telesa vzhledem k ose otácení, '¨=d2'/dt2 (t je cas) je úhlové zrychlení tuhého telesa, Mo je moment vnejších sil pusobících na tuhé teleso vzhledem k ose otácení. Moment setrvacnosti tuhého telesa vzhledem k ose je definován jako

ZZ. ZZ.

I = r 2 dm = r 2 . dV. (3.2)

(m)(V ) Obr. 3.1. K definici momentu setrvacnosti tuhého telesa vzhledem k ose

RR. RR.

Symbolem rozumíme integraci pres celou hmotnost m telesa, symbolem integraci pres celý

(m)(V ) objem V telesa, . je hustota telesa a muže se menit místo od místa, r je vzdálenost hmotného bodu dm resp. . dV od osy (viz obr. 3.1).

Jestliže potrebujeme znát moment setrvacnosti nejakého pravidelného homogenního telesa (koule, válce, hmotné úsecky, hranolu) vzhledem k nejaké ose symetrie tohoto telesa, je nejjednodušší ho podle vzorce (3.2) spocítat. V našem prípadě mužeme zanedbat prícné rozmery, použít lineární hustotu tyce a integrovat v jednom smeru.

Známe-li moment setrvacnosti Io vzhledem k ose procházející težištem telesa, pak moment setrvacnosti I tohoto telesa vzhledem k ose, která je s puvodní osou rovnobežná a je od ní vzdálená o a, dostaneme podle Steinerovy vety

I = Io + ma 2 , (3.3)

1

� kde m je hmotnost telesa (viz [3], str. 164).

Vzorce pro moment setrvacnosti homogenní tyce délky L kolem stredu tyce (težište) si odvodte v domácí príprave.

a) Urcení momentu setrvacnosti z doby kmitu fyzického kyvadla.

Obr. 3.2. Fyzické kyvadlo

Fyzické kyvadlo je tuhé teleso, které v gravitacním poli kývá kolem vodorovné osy. Na obrázku 3.2 je takové tuhé teleso nakreslené, prímka p je svislá a pevná v prostoru, prímka p . je pevná v telese, težiště T telesa leží na prímce p . , prímky p, p . se protínají v bodě O, kterým kolmo na nákresnu prochází osa otácení. Symbolem m je oznacena hmotnost telesa, ~g je gravitacní zrychlení, x je vzdálenost težiště od osy otácení a . je úhel mezi

prímkou p a prímkou p . Z rovnice (3.1) mužeme pro úhel . dostat vztah I ¨. = -m g x sin . . (3.4) Ten predstavuje nelineární diferenciální rovnici druhého rádu. Hledaná velicina . se v ní vyskytuje ve druhé

derivaci podle casu a ve funkci sin '. Rešit takovouto rovnici není jednoduché, snadneji to jde, mužeme-li pro

.

úhel . napsat rovnici lineární. To lze, je-li úhel . malý, takže mužeme položit sin . = '. Pro takové úhly . lze rovnici (3.4) napsat ve tvaru

I'¨+ mgx. =0 , (3.5)

o níž je známo, že jejím obecným rešením (takovým rešením, které zahrnuje všechna možná rešení), je mgx

. =�o sin t + 'o , (3.6)

I

kde konstanty �o a 'o se urcují z pocátecních podmínek (napr. z polohy . a úhlové rychlosti ˙. kyvadla v case t = 0).

Ze vztahu (3.6) je videt, že úhel . je periodickou funkcí casu t. Ponevadž sinus je periodická funkce s periodou 2 �, pohyb kyvadla se po case T , pro který platí

mgx

T =2 . (3.7)

I

zacne opakovat. Velicině T ríkáme doba kmitu a z rovnice (3.7) pro ni dostáváme vztah

I

T =2 �. (3.8)

mgx

Zopakujme si ještě jednou význam symbolů ve vzorci (3.8): velicina I je moment setrvacnosti tuhého telesa vzhledem k ose otácení, m je hmotnost tuhého telesa, g je gravitacní zrychlení, x je vzdálenost težiště tuhého telesa od osy otácení. Známe-li veliciny m, I, x a zmeríme-li dobu kmitu T fyzického kyvadla, mužeme vypocítat velikost gravitacního zrychlení g v laboratori.

Pro odhad chyby vyjdeme ze vztahu (III.6)

2

Zdroj: [1] --Ldunovsky 31. 5. 2010, 08:31 (UTC)