Pohyby v gravitačním poli

Z MediaWiki SPŠ a VOŠ Písek
Přejít na: navigace, hledání

Homogenni gratačni pole je speciálním případem centrálního (radiálního) gravitačního pole. Důležitým pohybem v homogenním gratačním poli je tzv. šikmý vrh. Jeho speciální případy jsou

  1. Volný pád
  2. Vrh svislý
  3. Vrh vodorovný
  4. Vrh šikmý vzhůru

Důležitými charakteristikami šikmého vrhu jsou počáteční rychlost a elevační úhel



Obsah

Volný pád

Volný pád je pohyb tělesa o hmotnosti m v homogenním gravitačním poli, při kterém počáteční rychlost tělesa je nulová a kromě gravitační síly na těleso nepůsobí žádná další síla, popř. jsou další síly zanedbatelné (tzn. odpor prostředí se zanedbává)


Pohybové rovnice

Pomineme-li odpor okolního prostředí a uvažujeme-li pouze homogenní gravitační pole, působí na pohybující se těleso pouze síla ve vertikálním směru o velikosti

   F = − mg,

kde g je gravitační zrychlení (popř. tíhové zrychlení). V našich zeměpisných šířkách je g rovno 9,81 m/s2. Záporným znaménkem se označuje, že těleso padá směrem dolů (daná souřadnicová osa je totiž obvykle orientována směrem vzhůru). Pohybová rovnice v daném směru má tvar

   F = ma,

kde a je zrychlení tělesa.

Z předchozích vztahů dostaneme rovnost

   ma = − mg

neboli (pro g > 0):

   a = − g

Je vidět, že velikost hmotnosti m tělesa nemá na pohyb vliv. Všechna tělesa padají se stejným zrychlením g.


Kinematika pohybu

Volný pád je tedy rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb se zrychlením rovným gravitačnímu zrychlení. Ze vztahů pro rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb (za předpokladu, že osa y směřuje vertikálně) plyne

   v = v0 − gt
   y = y_0 + v_0 t - \frac{1}{2}gt^2

kde v0 určuje velikost počáteční rychlosti (tedy rychlosti v čase t = 0) a y0 určuje počáteční polohu (resp. výšku).

V takto zvolené soustavě souřadnic tedy těleso padá proti směru osy y.


Pád z klidu

Pustíme-li těleso z klidu, má v okamžiku vypuštění t = 0 nulovou rychlost v0 = 0. Položíme-li navíc počátek souřadné soustavy do bodu vypuštění, tedy y0 = 0, pak platí

   v = − gt
   y = -\frac{1}{2}gt^2

Vyloučíme-li z těchto rovnic čas t, dostaneme závislost rychlosti na poloze

   v2 = − 2gy

Změníme-li souřadnice tak, aby označovaly výšku, tzn. − y = h, dostaneme vzorec pro rychlost pádu tělesa z dané výšky ve tvaru

   v = \sqrt{2gh} 


Energie

Při volném pádu se gravitační potenciální energie mění na kinetickou energii tělesa.


Přesnost řešení

Uvedené řešení je pouze přibližné, protože gravitační pole Země ve skutečnosti není homogenní a se zvětšující se výškou jeho síla klesá. Chyba je však při výpočtu pádů na povrchu Země o mnoho řádů nižší, než například vliv odporu vzduchu.

Vrh svislý

Vrh svislý je pohyb tělesa v homogenním gravitačním poli, při kterém počáteční rychlost tělesa má směr svisle vzhůru - proti směru gravitační síly. Kromě gravitační síly nepůsobí na těleso žádná další síla (příp. jsou další síly zanedbatelné).

Vrh svislý je v první fázi (pohyb nahoru) rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb se záporným zrychlením, jehož velikost se rovná gravitačnímu zrychlení. Rychlost tělesa se v první fázi zmenšuje, až dosáhne nuly, těleso se na okamžik zastaví v největší výšce (největší vzdálenosti) a začne druhá fáze - volný pád.

Vrh svislý vzniká složením rovnoměrného pohybu s počáteční rychlostí a rovnoměrně zrychleného pohybu se zrychlením proti směru počáteční rychlosti.


Výpočet okamžité výšky h svislého vrhu

   h = h0 + v0.t - 1/2 g t2

kde h0 je počáteční výška, v0 je počáteční rychlost, g je gravitační zrychlení (příp. tíhové zrychlení), t je čas od počátku vrhu


Výpočet největší výšky h svislého vrhu

   h = h0 + v02 / 2g

kde v0 je počáteční rychlost, g je gravitační zrychlení (příp. tíhové zrychlení)


Výpočet času t dosažení největší výšky

   t = v0 / g

kde v0 je počáteční rychlost, g je gravitační zrychlení (příp. tíhové zrychlení)

Rychlost dopadu tělesa do původního místa je stejná jako počáteční rychlost.

Při vrhu svislém se počáteční kinetická energie mění na gravitační potenciální energii a po dosažení největší výšky se naopak gravitační potenciální energie mění na kinetickou energii tělesa.

Vrh vodorovný

Vrh šikmý vzhůru

Zdroj informací

www.wikipedia.cz


--Hmarek 31. 5. 2010, 07:32 (UTC)

Osobní nástroje
Jmenné prostory
Varianty
Akce
Rychlá navigace
NEJ aktivity
Nejlepší předměty
Nejlepší MCU
SW-HW
Ostatní
Utility
Nástroje
Tisk/export