http://wiki.sps-pi.cz/index.php?action=history&feed=atom&title=M%C4%9B%C5%99en%C3%AD_t%C3%ADhov%C3%A9ho_zrychlen%C3%AD_kyvadlem 2026-04-07T20:59:45Z Historie editací této stránky MediaWiki 1.42.1 http://wiki.sps-pi.cz/index.php?title=M%C4%9B%C5%99en%C3%AD_t%C3%ADhov%C3%A9ho_zrychlen%C3%AD_kyvadlem&diff=4233&oldid=prev 2010-05-31T08:31:56Z

<p>Založena nová stránka: == Merení tíhového zrychlení fyzickým kyvadlem == ÚKOL: 1. Spocítejte moment setrvacnosti fyzického kyvadla kolem težiště 2. Urcete moment …</p> <p><b>Nová stránka</b></p><div>== Merení <br /> tíhového <br /> zrychlení <br /> fyzickým <br /> kyvadlem ==<br /> <br /> <br /> <br /> ÚKOL: <br /> <br /> <br /> 1. <br /> Spocítejte <br /> moment <br /> setrvacnosti <br /> fyzického <br /> kyvadla <br /> kolem <br /> težiště <br /> 2. <br /> Urcete <br /> moment <br /> setrvacnosti <br /> kolem <br /> skutecné <br /> osy <br /> 3. <br /> Urcete <br /> velikost <br /> tíhového <br /> zrychlení <br /> z <br /> doby <br /> kyvu <br /> fyzického <br /> kyvadla <br /> 4. <br /> U <br /> všech <br /> hodnot <br /> odhadnete <br /> chybu <br /> merení <br /> Pomucky: <br /> <br /> <br /> a) <br /> zaves <br /> s <br /> fyzickým <br /> kyvadlem <br /> (tyč <br /> obdélníkového <br /> prurezu), <br /> kovové <br /> merítko, <br /> kontaktní <br /> merítko, <br /> stopky, <br /> váhy <br /> <br /> <br /> Základní <br /> pojmy <br /> a <br /> vztahy: <br /> <br /> <br /> Moment <br /> setrvacnosti <br /> je <br /> velicina, <br /> kterou <br /> potrebujeme <br /> znát, <br /> studujeme-li <br /> otácení <br /> tuhého <br /> telesa <br /> kolem <br /> osy. <br /> Je-li <br /> uvažovaná <br /> osa <br /> otácení <br /> pevná <br /> v <br /> prostoru, <br /> mužeme <br /> popsat <br /> pohyb <br /> telesa <br /> jedinou <br /> souradnicí, <br /> napr. <br /> úhlem <br /> &#039;, <br /> který <br /> svírá <br /> prímka <br /> pevná <br /> v <br /> prostoru <br /> s <br /> prímkou <br /> pevnou <br /> v <br /> telese <br /> procházející <br /> spolecným <br /> bodem <br /> na <br /> ose <br /> otácení. <br /> Pohybovou <br /> rovnici <br /> pro <br /> toto <br /> tuhé <br /> teleso <br /> získáme <br /> z <br /> druhé <br /> vety <br /> impulzové <br /> promítnuté <br /> do <br /> smeru <br /> osy <br /> pevné <br /> v <br /> prostoru, <br /> a <br /> která <br /> zní: <br /> <br /> <br /> I&#039;¨= <br /> Mo <br /> , <br /> (3.1) <br /> <br /> <br /> kde <br /> I <br /> je <br /> moment <br /> setrvacnosti <br /> tuhého <br /> telesa <br /> vzhledem <br /> k <br /> ose <br /> otácení, <br /> &#039;¨=d2&#039;/dt2 <br /> (t <br /> je <br /> cas) <br /> je <br /> úhlové <br /> zrychlení <br /> tuhého <br /> telesa, <br /> Mo <br /> je <br /> moment <br /> vnejších <br /> sil <br /> pusobících <br /> na <br /> tuhé <br /> teleso <br /> vzhledem <br /> k <br /> ose <br /> otácení. <br /> Moment <br /> setrvacnosti <br /> tuhého <br /> telesa <br /> vzhledem <br /> k <br /> ose <br /> je <br /> definován <br /> jako <br /> <br /> <br /> ZZ. <br /> ZZ. <br /> <br /> <br /> I <br /> = <br /> r <br /> 2 <br /> dm <br /> = <br /> r <br /> 2 <br /> . <br /> dV. <br /> (3.2) <br /> <br /> <br /> (m)(V <br /> ) <br /> Obr. <br /> 3.1. <br /> K <br /> definici <br /> momentu <br /> setrvacnosti <br /> tuhého <br /> telesa <br /> vzhledem <br /> k <br /> ose <br /> <br /> <br /> RR. <br /> RR. <br /> <br /> <br /> Symbolem <br /> rozumíme <br /> integraci <br /> pres <br /> celou <br /> hmotnost <br /> m <br /> telesa, <br /> symbolem <br /> integraci <br /> pres <br /> celý <br /> <br /> <br /> (m)(V <br /> ) <br /> objem <br /> V <br /> telesa, <br /> . <br /> je <br /> hustota <br /> telesa <br /> a <br /> muže <br /> se <br /> menit <br /> místo <br /> od <br /> místa, <br /> r <br /> je <br /> vzdálenost <br /> hmotného <br /> bodu <br /> dm <br /> resp. <br /> . <br /> dV <br /> od <br /> osy <br /> (viz <br /> obr. <br /> 3.1). <br /> <br /> <br /> Jestliže <br /> potrebujeme <br /> znát <br /> moment <br /> setrvacnosti <br /> nejakého <br /> pravidelného <br /> homogenního <br /> telesa <br /> (koule, <br /> válce, <br /> hmotné <br /> úsecky, <br /> hranolu) <br /> vzhledem <br /> k <br /> nejaké <br /> ose <br /> symetrie <br /> tohoto <br /> telesa, <br /> je <br /> nejjednodušší <br /> ho <br /> podle <br /> vzorce <br /> (3.2) <br /> spocítat. <br /> V <br /> našem <br /> prípadě <br /> mužeme <br /> zanedbat <br /> prícné <br /> rozmery, <br /> použít <br /> lineární <br /> hustotu <br /> tyce <br /> a <br /> integrovat <br /> v <br /> jednom <br /> smeru. <br /> <br /> <br /> Známe-li <br /> moment <br /> setrvacnosti <br /> Io <br /> vzhledem <br /> k <br /> ose <br /> procházející <br /> težištem <br /> telesa, <br /> pak <br /> moment <br /> setrvacnosti <br /> I <br /> tohoto <br /> telesa <br /> vzhledem <br /> k <br /> ose, <br /> která <br /> je <br /> s <br /> puvodní <br /> osou <br /> rovnobežná <br /> a <br /> je <br /> od <br /> ní <br /> vzdálená <br /> o <br /> a, <br /> dostaneme <br /> podle <br /> Steinerovy <br /> vety <br /> <br /> <br /> I <br /> = <br /> Io <br /> + <br /> ma <br /> 2 <br /> , <br /> (3.3) <br /> <br /> <br /> 1 <br /> <br /> <br /> �<br /> kde <br /> m <br /> je <br /> hmotnost <br /> telesa <br /> (viz <br /> [3], <br /> str. <br /> 164). <br /> <br /> <br /> Vzorce <br /> pro <br /> moment <br /> setrvacnosti <br /> homogenní <br /> tyce <br /> délky <br /> L <br /> kolem <br /> stredu <br /> tyce <br /> (težište) <br /> si <br /> odvodte <br /> v <br /> domácí <br /> príprave. <br /> <br /> <br /> a) <br /> Urcení <br /> momentu <br /> setrvacnosti <br /> z <br /> doby <br /> kmitu <br /> fyzického <br /> kyvadla. <br /> <br /> <br /> <br /> Obr. <br /> 3.2. <br /> Fyzické <br /> kyvadlo <br /> <br /> <br /> Fyzické <br /> kyvadlo <br /> je <br /> tuhé <br /> teleso, <br /> které <br /> v <br /> gravitacním <br /> poli <br /> kývá <br /> kolem <br /> vodorovné <br /> osy. <br /> Na <br /> obrázku <br /> 3.2 <br /> je <br /> takové <br /> tuhé <br /> teleso <br /> nakreslené, <br /> prímka <br /> p <br /> je <br /> svislá <br /> a <br /> pevná <br /> v <br /> prostoru, <br /> prímka <br /> p <br /> . <br /> je <br /> pevná <br /> v <br /> telese, <br /> težiště <br /> T <br /> telesa <br /> leží <br /> na <br /> prímce <br /> p <br /> . <br /> , <br /> prímky <br /> p, <br /> p <br /> . <br /> se <br /> protínají <br /> v <br /> bodě <br /> O, <br /> kterým <br /> kolmo <br /> na <br /> nákresnu <br /> prochází <br /> osa <br /> otácení. <br /> Symbolem <br /> m <br /> je <br /> oznacena <br /> hmotnost <br /> telesa, <br /> ~g <br /> je <br /> gravitacní <br /> zrychlení, <br /> x <br /> je <br /> vzdálenost <br /> težiště <br /> od <br /> osy <br /> otácení <br /> a <br /> . <br /> je <br /> úhel <br /> mezi <br /> <br /> <br /> prímkou <br /> p <br /> a <br /> prímkou <br /> p <br /> . <br /> Z <br /> rovnice <br /> (3.1) <br /> mužeme <br /> pro <br /> úhel <br /> . <br /> dostat <br /> vztah <br /> I <br /> ¨. <br /> = <br /> -m <br /> g <br /> x <br /> sin <br /> . <br /> . <br /> (3.4) <br /> Ten <br /> predstavuje <br /> nelineární <br /> diferenciální <br /> rovnici <br /> druhého <br /> rádu. <br /> Hledaná <br /> velicina <br /> . <br /> se <br /> v <br /> ní <br /> vyskytuje <br /> ve <br /> druhé <br /> <br /> <br /> derivaci <br /> podle <br /> casu <br /> a <br /> ve <br /> funkci <br /> sin <br /> &#039;. <br /> Rešit <br /> takovouto <br /> rovnici <br /> není <br /> jednoduché, <br /> snadneji <br /> to <br /> jde, <br /> mužeme-li <br /> pro <br /> <br /> <br /> .<br /> <br /> úhel <br /> . <br /> napsat <br /> rovnici <br /> lineární. <br /> To <br /> lze, <br /> je-li <br /> úhel <br /> . <br /> malý, <br /> takže <br /> mužeme <br /> položit <br /> sin <br /> . <br /> = <br /> &#039;. <br /> Pro <br /> takové <br /> úhly <br /> . <br /> lze <br /> rovnici <br /> (3.4) <br /> napsat <br /> ve <br /> tvaru <br /> <br /> <br /> I&#039;¨+ <br /> mgx. <br /> =0 <br /> , <br /> (3.5) <br /> <br /> <br /> o <br /> níž <br /> je <br /> známo, <br /> že <br /> jejím <br /> obecným <br /> rešením <br /> (takovým <br /> rešením, <br /> které <br /> zahrnuje <br /> všechna <br /> možná <br /> rešení), <br /> je <br /> mgx <br /> <br /> <br /> . <br /> =�o <br /> sin <br /> t <br /> + <br /> &#039;o <br /> , <br /> (3.6)<br /> <br /> I <br /> <br /> <br /> kde <br /> konstanty <br /> �o <br /> a <br /> &#039;o <br /> se <br /> urcují <br /> z <br /> pocátecních <br /> podmínek <br /> (napr. <br /> z <br /> polohy <br /> . <br /> a <br /> úhlové <br /> rychlosti <br /> ˙. <br /> kyvadla <br /> v <br /> case <br /> t <br /> = <br /> 0). <br /> <br /> <br /> Ze <br /> vztahu <br /> (3.6) <br /> je <br /> videt, <br /> že <br /> úhel <br /> . <br /> je <br /> periodickou <br /> funkcí <br /> casu <br /> t. <br /> Ponevadž <br /> sinus <br /> je <br /> periodická <br /> funkce <br /> s <br /> periodou <br /> 2 <br /> �, <br /> pohyb <br /> kyvadla <br /> se <br /> po <br /> case <br /> T <br /> , <br /> pro <br /> který <br /> platí <br /> <br /> <br /> mgx <br /> <br /> <br /> T <br /> =2 <br /> . <br /> (3.7)<br /> <br /> I <br /> <br /> <br /> zacne <br /> opakovat. <br /> Velicině <br /> T <br /> ríkáme <br /> doba <br /> kmitu <br /> a <br /> z <br /> rovnice <br /> (3.7) <br /> pro <br /> ni <br /> dostáváme <br /> vztah <br /> <br /> <br /> I <br /> <br /> <br /> T <br /> =2 <br /> �. <br /> (3.8) <br /> <br /> <br /> mgx <br /> <br /> <br /> Zopakujme <br /> si <br /> ještě <br /> jednou <br /> význam <br /> symbolů <br /> ve <br /> vzorci <br /> (3.8): <br /> velicina <br /> I <br /> je <br /> moment <br /> setrvacnosti <br /> tuhého <br /> telesa <br /> vzhledem <br /> k <br /> ose <br /> otácení, <br /> m <br /> je <br /> hmotnost <br /> tuhého <br /> telesa, <br /> g <br /> je <br /> gravitacní <br /> zrychlení, <br /> x <br /> je <br /> vzdálenost <br /> težiště <br /> tuhého <br /> telesa <br /> od <br /> osy <br /> otácení. <br /> Známe-li <br /> veliciny <br /> m, <br /> I, <br /> x <br /> a <br /> zmeríme-li <br /> dobu <br /> kmitu <br /> T <br /> fyzického <br /> kyvadla, <br /> mužeme <br /> vypocítat <br /> velikost <br /> gravitacního <br /> zrychlení <br /> g <br /> v <br /> laboratori. <br /> <br /> <br /> Pro <br /> odhad <br /> chyby <br /> vyjdeme <br /> ze <br /> vztahu <br /> (III.6) <br /> <br /> <br /> 2 <br /> <br /> <br /> Zdroj:<br /> [http://rumcajs.fjfi.cvut.cz/fyzport/Praktika/Decin/Fyz1/u03momenpart.pdf]<br /> --[[Uživatel:Ldunovsky|Ldunovsky]] 31. 5. 2010, 08:31 (UTC)</div>

Ldunovsky