Pohyby v gravitačním poli
Homogenni gratačni pole je speciálním případem centrálního (radiálního) gravitačního pole. Důležitým pohybem v homogenním gratačním poli je tzv. šikmý vrh. Jeho speciální případy jsou
- Volný pád
- Vrh svislý
- Vrh vodorovný
- Vrh šikmý vzhůru
Důležitými charakteristikami šikmého vrhu jsou počáteční rychlost a elevační úhel
Volný pád
Volný pád je pohyb tělesa o hmotnosti m v homogenním gravitačním poli, při kterém počáteční rychlost tělesa je nulová a kromě gravitační síly na těleso nepůsobí žádná další síla, popř. jsou další síly zanedbatelné (tzn. odpor prostředí se zanedbává)
Pohybové rovnice
Pomineme-li odpor okolního prostředí a uvažujeme-li pouze homogenní gravitační pole, působí na pohybující se těleso pouze síla ve vertikálním směru o velikosti
F = − mg,
kde g je gravitační zrychlení (popř. tíhové zrychlení). V našich zeměpisných šířkách je g rovno 9,81 m/s2. Záporným znaménkem se označuje, že těleso padá směrem dolů (daná souřadnicová osa je totiž obvykle orientována směrem vzhůru). Pohybová rovnice v daném směru má tvar
F = ma,
kde a je zrychlení tělesa.
Z předchozích vztahů dostaneme rovnost
ma = − mg
neboli (pro g > 0):
a = − g
Je vidět, že velikost hmotnosti m tělesa nemá na pohyb vliv. Všechna tělesa padají se stejným zrychlením g.
Kinematika pohybu
Volný pád je tedy rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb se zrychlením rovným gravitačnímu zrychlení. Ze vztahů pro rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb (za předpokladu, že osa y směřuje vertikálně) plyne
v = v0 − gt
y = y_0 + v_0 t - \frac{1}{2}gt^2
kde v0 určuje velikost počáteční rychlosti (tedy rychlosti v čase t = 0) a y0 určuje počáteční polohu (resp. výšku).
V takto zvolené soustavě souřadnic tedy těleso padá proti směru osy y.
Pád z klidu
Pustíme-li těleso z klidu, má v okamžiku vypuštění t = 0 nulovou rychlost v0 = 0. Položíme-li navíc počátek souřadné soustavy do bodu vypuštění, tedy y0 = 0, pak platí
v = − gt
y = -\frac{1}{2}gt^2
Vyloučíme-li z těchto rovnic čas t, dostaneme závislost rychlosti na poloze
v2 = − 2gy
Změníme-li souřadnice tak, aby označovaly výšku, tzn. − y = h, dostaneme vzorec pro rychlost pádu tělesa z dané výšky ve tvaru
v = \sqrt{2gh}
Energie
Při volném pádu se gravitační potenciální energie mění na kinetickou energii tělesa.
Přesnost řešení
Uvedené řešení je pouze přibližné, protože gravitační pole Země ve skutečnosti není homogenní a se zvětšující se výškou jeho síla klesá. Chyba je však při výpočtu pádů na povrchu Země o mnoho řádů nižší, než například vliv odporu vzduchu.
Vrh svislý
Vrh svislý je pohyb tělesa v homogenním gravitačním poli, při kterém počáteční rychlost tělesa má směr svisle vzhůru - proti směru gravitační síly. Kromě gravitační síly nepůsobí na těleso žádná další síla (příp. jsou další síly zanedbatelné).
Vrh svislý je v první fázi (pohyb nahoru) rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb se záporným zrychlením, jehož velikost se rovná gravitačnímu zrychlení. Rychlost tělesa se v první fázi zmenšuje, až dosáhne nuly, těleso se na okamžik zastaví v největší výšce (největší vzdálenosti) a začne druhá fáze - volný pád.
Vrh svislý vzniká složením rovnoměrného pohybu s počáteční rychlostí a rovnoměrně zrychleného pohybu se zrychlením proti směru počáteční rychlosti.
Výpočet okamžité výšky h svislého vrhu
h = h0 + v0.t - 1/2 g t2
kde h0 je počáteční výška, v0 je počáteční rychlost, g je gravitační zrychlení (příp. tíhové zrychlení), t je čas od počátku vrhu
Výpočet největší výšky h svislého vrhu
h = h0 + v02 / 2g
kde v0 je počáteční rychlost, g je gravitační zrychlení (příp. tíhové zrychlení)
Výpočet času t dosažení největší výšky
t = v0 / g
kde v0 je počáteční rychlost, g je gravitační zrychlení (příp. tíhové zrychlení)
Rychlost dopadu tělesa do původního místa je stejná jako počáteční rychlost.
Při vrhu svislém se počáteční kinetická energie mění na gravitační potenciální energii a po dosažení největší výšky se naopak gravitační potenciální energie mění na kinetickou energii tělesa.
Vrh vodorovný
Vrh šikmý vzhůru
Zdroj informací
www.wikipedia.cz
--Hmarek 31. 5. 2010, 07:32 (UTC)